Geometry and Symmetry

Geometry와 symmetry는 coordinate가 이동, 회전, permutation, re-indexing될 때 무엇이 그대로 남아야 하고 무엇이 예측 가능하게 변해야 하는지 설명합니다.

$$f(g\cdot x)=g\cdot f(x)$$

이 식은 equivariance의 추상적인 형태입니다.

Route Map

Question	Start	Use for
mathematical object는 무엇인가?	Geometry, Symmetry group	distance, transform, group, coordinate rule
무엇이 unchanged여야 하는가?	Invariance	class, energy, affinity 같은 scalar label
무엇이 predictably transform되어야 하는가?	Equivariance	coordinate, force, vector field, pose update
coordinate는 어떤 frame에 있는가?	Coordinate frame, Distance geometry	structure representation과 leakage check
model에서는 어떻게 구현되는가?	Geometric deep learning	equivariant GNN과 coordinate-aware architecture

Transformation Rules

Object	Rule	Interpretation
Translation	$x_i^{\prime }=x_i+t$	많은 structure task에서 origin은 중요하지 않아야 합니다
Rotation	$x_i^{\prime }=R{x}_i$	orientation은 scalar label을 바꾸면 안 됩니다
Rigid motion	$x_i^{\prime }=R{x}_i+t$	coordinate가 하나의 body처럼 함께 움직입니다
Permutation	$X^{\prime }=PX$	node/residue/atom order가 object를 바꾸면 안 됩니다
Invariant output	$f(g\cdot x)=f(x)$	scalar target이 그대로 유지됩니다
Equivariant output	$F(g\cdot x)=\rho (g)F(x)$	output이 input과 함께 예측 가능하게 변합니다

For distances:

$$d_{ij}=\Vert x_i-x_j{\Vert }_2=\Vert (R{x}_i+t)-(R{x}_j+t){\Vert }_2$$

따라서 pairwise distance는 rigid motion에 invariant합니다.

Invariance vs Equivariance

Transformation 아래에서 output이 바뀌면 안 되면 invariance를 씁니다.

$$f(g\cdot x)=f(x)$$

Output이 알려진 방식으로 변해야 하면 equivariance를 씁니다.

$$F(g\cdot x)=\rho (g)F(x)$$

여기서 $\rho (g)$는 output space 위 transformation의 representation입니다. Scalar label에서는 $\rho (g)$가 보통 identity입니다. Coordinate나 vector output에서는 $\rho (g)$가 rotation matrix 또는 rigid-motion action일 수 있습니다.

Coordinate Sets

Coordinate matrix가 아래와 같을 때:

$$X=\left[\begin{array}{c}{x}_1^{\top }\\ \cdots \\ x_N^{\top }\end{array}\right]\in {\mathbb{R}}^{N\times 3}$$

rigid motion은 아래처럼 작용합니다.

$$X^{\prime }=X{R}^{\top }+1t^{\top }$$

Atom 또는 residue order의 permutation은 아래처럼 작용합니다.

$$X^{\prime }=PX$$

Updated coordinate를 예측하는 coordinate model은 보통 아래 조건을 만족해야 합니다.

$$F(PX{R}^{\top }+1t^{\top })=PF(X)R^{\top }+1t^{\top }$$

이 식은 structure model이 indexing과 geometry를 함께 존중하는지 확인하는 compact한 방법입니다.

Groups and Coordinates

• SO(3)
• SE(3)
• E(3)
• Irreducible representation
• Spherical harmonics

Target Map

Target	Expected symmetry	Examples
Class / affinity / energy	invariant	property prediction, binding score
Coordinate update	equivariant	pose generation, structure refinement
Force / vector field	equivariant	molecular dynamics, flow matching in coordinates
Graph relation	permutation equivariant or invariant	contact map, interaction graph

AI Connections

• CNNs encode translation-related inductive bias.
• GNNs handle permutation-sensitive relational data through message passing.
• Equivariant networks are important for molecules, proteins, and coordinate prediction.
• Docking and pose generation need geometry validity, not only scalar scores.

Model Family Map

Model family	Built-in symmetry	Typical use
CNN	translation equivariance on grids	images, local spatial patterns
GNN	permutation equivariance over nodes	molecules, residues, relational data
Graph Transformer	permutation-aware attention with graph bias	long-range graph interactions
E(3)/SE(3)-equivariant model	rigid-motion equivariance	coordinate prediction, forces, poses
Set model	permutation invariance/equivariance	unordered objects, pooled representations

Model family는 dataset format만이 아니라 object와 target의 symmetry에 맞아야 합니다.

Checks

• 어떤 transformation이 label을 보존하는가?
• 어떤 output이 input과 함께 rotate 또는 translate되어야 하는가?
• coordinate frame이 arbitrary한가, physically meaningful한가?
• relative geometry가 더 안전한데 model이 absolute coordinate를 쓰고 있지는 않은가?
• atom, residue, node permutation이 explicit하게 처리되는가?
• evaluation metric이 model target과 같은 symmetry를 존중하는가?

Related

• Math
• Geometry for Structure Modeling
• Graph neural networks
• Coordinate modeling contract